6.1.6对更复杂的函数，如因变量和自变量之间是积或商等较复杂的关系时，标准差应按照附录A计 算，之后再代入式（4）计算相应的不确定度。

6.2系统不确定度的计

6.2.1系统误差中的无法确定的分量应根据以往有效校准数据和历史记录等进行评估。 6.2.2当变量为多个独立测量结果的和，且各分量的正负不确定时，系统误差用式（6）计算。

6.2.3对于更复杂的函数关系，系统误差限应用附录A中给出的方法，用es，替换公式中的方差项。 6.2.4当确定了所有不确定度的来源，并且每个变量都合成了随机不确定度和系统不确定度，则完成 了评估过程。 录B和附录C

过滤器标准7线性拟合和不确定度计算方法

7.1校准图表的线性判断

为了确定拟合值与测量值能否无偏拟合，应通过观察测量结果和拟合直线的残差，采用下述方法 获得近似直线：

=Ex/n; y=Ey/n

将数据等分为独立的三组，算出两端的两组数据平均值，分别记为X、和、y3，则 直线的斜率为：

图1残差、自变量、预测值关系曲线

残差分布也可能出现以下三种偏离理想模式的情形： 1）分布带出现明显的向上或向下的弯曲［见图1b)]，表明变量间的关系为曲线而非直线。 2）分布带依然保持水平，但逐渐变宽或者收窄【见图1c)]，这说明整个测量范围内的方差 不是常数，应在拟合过程中进行加权计算。 3）分布带表现为向上或向下的直线带【见图1d)]，表明在拟合过程或y的相关计算存在 误差。

7.2校准曲线的线性化方法

如果根据7.1线性判断表明校准图为曲线形式， 则考虑按照以下两种方法进行线性化处理： 第一种方法是变量置换，仅适用于变量之间存在数学函数关系性质，转换的形式取决于数 达式本身。例如，对于明渠校准，水位与流量的关系可以表达为：

7.2.1如果根据7.1线性判断表明校准图为曲线形式，

式中： h一测量的水位，m; 零流量水位的基准面修正值，m； b一指数。 采用对数变换将式（12）改写为： Ing=lnc+bXln(h+ho) （13） 式（13）实现了数据线性化处理。 b）第二种方法，将校准曲线分为几部分，若每个部分可线性化处理，则校准曲线依旧可以线性 化。此方法需满足两个条件：第一，每部分曲线应基于相类似数量的观测点；第二，曲线的每 一部分必须与相邻部分共用至少2个点。 2完成线性化后，应重复7.1所述的线性判断

In=nc+b×n(h+ho)

式（13）实现了数据线性化处理。 b）第二种方法，将校准曲线分为几部分，若每个部分可线性化处理，则校准曲线依旧可以线性 化。此方法需满足两个条件：第一，每部分曲线应基于相类似数量的观测点；第二，曲线的每 一部分必须与相邻部分共用至少2个点。 2完成线性化后，应重复7.1所述的线性判断，

根据7.1两个标准差的计算值，按照式（14）计算比值% y=s(y)/s(x) 当比值大于或等于20时，应采用7.3.2给出的最小二乘法拟合直线。 当比值小于20时，若变量能按7.3、7.4的要求设定至预定值，仍可采用最小二乘拟合直线的

a）若自变量的误差与因变量的误差相比可忽略不计，采用最小二乘法进行校准直线的拟合， 式（15)计算。

拟合过程，拟合直线的标准差可按式（19）和式

SR也可按式（21）计算

当采用式（21）时，为避免舍入误差过大，需尽可能多选数据点。 c）b、r和s(y)也可通过以下方程计算：

对于α通过式（17）计算，这里仍需要由足够多的数据点以减小舍入误差的影响。 d）当校准曲线由两段或多段组成，应确定这些区间的交界点。相邻两个区间的方程可按式（26） 计算。

则在交界点有yi=y2，x的公值可根据式（27）计算。

y值可通过将x值代入式（26）来计算。

7.4最佳加权曲线的拟合

7.4.1当y的方差随着x值变化，则需使用加权回归分析方法 此时α和b通过式（28）和式（29）进行计算。

通过式（22）计算y的标准差，通过式（19）或式（21）计算拟合直线的标准差 7.4.2当已知各个变量的方差时，权重系数c;可按式（30）计算。 W=1/Var(y);c=w. / w

其他情况下，权重系数的计算方法如下： a）按照7.1所述，根据拟合直线用式（11）计算4(v)：

=a十bx和y=a,十b,x

[(Ecx)(Z) (Zcx)" Eexyi Ecx? n

b）以4(yi)及对应的x;值为坐标作图； c）采用第8章给出的方法对数据进行非线性拟合； d）通过该拟合曲线得到"(vi); e）用4(y)替代式（30）中的y计算得到c;的值。

7.5v独立于x时的拟合直线确定方法

5.1校准曲线斜率为零时，即在x的变化范围内为常数，校准曲线变成一条水平直线，校准 化为的平均值。即

7.5.2通过试验进一步测试拟合曲线的斜率是否为零，应计算式（32）

其中，s(b)按式（33）计算。

当0包含在式（32）给出的限制范围内时，说明拟合直线是水平的。

7.6随机不度定度的计算

拟合直线在x=xk处的随机不确定度按式（34）计算。

测量，x三x时的不确定

7.7系统不确定度计算

7.7.2随机不确定度和系统不确定度可用以下两种公式合成：

7.8测量结果的不确定

UAdp=e,+ts

Uss=[e+(ts)"0

7.8.1由拟合直线上的定位不准确形成的附加不确定度，以及由数据的增加或减少引入的其他附加不 确定度，应使用GB/T27759一2011给出的方法进行评估。 .8.2用URss模型合成随机不确定度和系统不确定度，则测量过程中总的不确定度表示为URss() 可按式（39）计算，

URss(y。）一一总的附加不确定度； URss(。）一一由校准图表引起的不确定度。 附加不确定度对流量总不确定度的影响由校准图表的特性决定

Urss ()=[Urss (y.)+Urss (.)10.5

DL/T19612019

以合直线的斜率为0时，流量由流量计的输出函数与独立于流量的系数乘积得到，此时不存 确定度，式（39）简化为：

Urss(0)=Urss (0.)

代法计算流量。为进行迭代，需用拟合系数初始估计值 来获得流量初始计算值，然后使用计算的流量得到更加准确的校准系数，重复这一过程，直到流量的 预估值不再发生较大变化。在这种情况下，流量计的任何测量误差都会引入所使用系数的误差，因 此，总的不确定度应根据式（39）计算。 7.8.5当使用条件与校准条件不同时，如系统测量条件、流体、装置等不同时，还会进一步增加测量 的不确定度。在这种情况下，需要评估每种情形的置信限。

8.1非线性拟合方法基本原则

8.1.3多项式中最高次幕可根据以往经验获得，否则通过8.3中的方法获得。 8.1.4拟合多项式项数过多可能导致曲线震荡，此种情况可将x的区间分为若干可采用线性或者低阶 多项式拟合的区间。 8.1.5对一个或两个变量进行适当变换也可实现线性或低阶多项式拟合。例如，将自变量转换为它的 倒数1/x可以使原始数据线性化。 8.1.6当给定数据xi的随机不确定度e(x)相对于y:的随机不确定度e,(y)不能忽略时，将不再适用最小 范围时，本部分所描述的数学处理方法将不再适用。因此，在实际校准过程中，如果待拟合变量不满 足上述条件，则本部分所描述的方法均不再适用 8.1.7如果在拟合前对某个变量进行了变换，则不确定度与新变量相关。由于变量变换导致随机不确 定度e(y)在x范围内不能作为常数看待，需要采用加权最小二乘法进行拟合。

8.2.1本标准所描述的拟合直线的方法也被称为线性或简单线性回归。与之类似，拟合多项式 为多项式或曲线回归，它是多重线性回归的一种特殊形式。数据回归处理的计算方法见附录D。 8.2.2作为回归方法的替代，可采用附录E描述的正交多项式法。这一方注尤其活用于重生不

8.3最优拟合次数的选择

优拟合次数的确定原则：进一步增加拟合次数，当拟合结果没有显著改善时的多项式最高次 拟合次数。对于每个拟合次数，应采用式（44）计算拟合偏差的标准差sr：

8.3.2拟合多项式的次数m应远小于数据点的个数n。 8.3.3如果数据可以用次数为m的多项式较好的拟合，则当次数达到m时，Sr会显著减小，此后sr几 乎保持不变。若s的变化不显著，应使用其他显著性检查方法确定最优拟合次数或寻求较为显著的目 标来确定最优的多项式次数。 8.3.4多项式次数从m一1增加到m的过程中，如果新系数bm明显不等于零，比如bm十tgss(bm）和 bm一tgss(bm）（bm的置信概率为95%）不包括0，则认为次数m的增加显著改善了曲线拟合效果。 这一条件可以表述为：

5——自由度=n一m一1，置信概率为95%时学生分布的t值。 t9s作为自由度的指数函数，可以根据下面的经验公式计算： tos=1.95+2.36/v+3.2/v+5.2/3.84

8.3.5对于正交多项式的系数g的计算参见附录E：

gm >tgs s(gm)

s(bm)和s(gm)的系数方差的计算式见附录D和附录E。 8.3.6在第一次增加多项式次数对拟合结果没有改善时，应再增加一次多项式的次数以检验多项式次 数对拟合结果是否产生明显变化。 8.3.7多项式最高次数对拟合结果的提高达到置信水平95%时，可认为是最优次数。在选择这一次数 作为待拟合数据的最优表达式之前，应考虑曲线的预期形状，需要拟合的区间和拟合的精度等因素的 影响。尽量避免拟合多项式的形式过于复杂。画出数据点和可能的拟合曲线，可以更直观地展示数据 点的真实关系，给出合理的多项式形式。

8.4.1在95%的置信水平下，拟合预测值的随机不确定度由式（46）给定。

8.4.1在95%的置信水平下，拟合预测值y的随机不确定度由式（46）

e ()=to.s()

其中，s()是的方差s)的平方根。附录D和附录E给出了s)的定义，通常s)可 高拟合次数为2m的多项式函数计算。计算s2(y)所选择的数据应足够多，以避免因减法运算引 差。

8.4.2对于y值，其95%随机置信限为y土e(）。 校准系数的不确定度为：

e(y)=[e ()+e ()0.

其中，e()是的系统不确定度。 8.4.3如果因变量是已经过转换，上述所有的不确定度计算应根据转换后的参数计筒

/ T 1961 20

如果起的 应的更为复杂的标准差的表达式。式中的微分项（ax/ax）与GB/T27759一2011中用于合成灵 系数（aR/aY,）的意义相同。

如果所有涉及高阶导数的项均可以忽略且协方差为0，例如，变量是独立的，则式（A.1）简化为 只有第一行。 A.3例如，明渠内流动截面上的流量计算方程如下

式中： be、d、U自变量。 根据式（A.1)），则有：

DL/T1961—2019

附录B （资料性附录） 明渠校准的算例

将式（B.1）改写为对数形式

进一步用式（B.3）进行替代：

O=c(h+h,))

InQ=lnc+bIn(h+h)

In(h十h,)=x;In=y;Inc

人防标准规范范本截距为： lnc=2.9308—1.5301×(0.4869)=3.6757 因此 lnQ=3.6757—1.5301ln(h—0.115) 或 =39.479(h0.115)1.5301 以水位为纵坐标、流量为横坐标的水位流量特性曲线如图B.1所示。

以水位为纵坐标、流量为横坐标的水位流量特性曲线如图B.1所示。

代入表B.2中的数据，得：

S=(0.02918/30)°3=0.031 B.6lnQ在点(h十ho)计算得到的随机不确定度可按式（34）计算，即

一对应测点处的位置编号。 同样，lnO.的随机不确定度可按式（35）计算，即

汽车标准S,=(0.02918/30)0.5 = 0.0