误差理论与数据处理 (修订版).pdf

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  • 按测量结果获得的方法,或测量条件及测量结果的不同,测重方法可分为:直接测重 接测量:直接比较测量与微差比较测量;等精度测量与非等精度测量;接触测量与非接触

    主动测量与被动测量;静态测量与动态测量等。而按实验数据的处理方式,测量方法主要是分 为直接测量、间接测量与组合测量三类,现分述如下。 1.直接测量 无需对待测的量与其它实测的量进行某种函数关系的计算,而直接得到被测量值的测量, 称为直接测量。如用游标卡尺测量轴径;用立式光学计测量圆柱塞规直径对于作为标准尺寸 的量块中心长度的偏差值,都属直接测量。 , 2,间接测量 ! 与直接测量不同,待测量少需先通过测量与其有某种函数关系的其他测基值(或个测

    与直接测量不同,待测量需先通过测量与其有某种函数关系的其他测基值(或个

    计算得出待测量少,这种测量称为间接测量。 如用弦长号高法测量圆甄或轴的直径D(图1一1)瓦楞纸箱标准,先测 量一定的弦长s和相应的弓高h,再按下式计算出直径D:

    y=f(r) y = f(a1,32,",En)

    如有若干个待求量y132,,3t,把这些待求量用不同方 式组合起来进行测量,并把测得值12,,与待求量之 间的函数关系列成方程组,即

    方程式的数量n要大于待求量的个数t,然后用最小二乘法求出各待求墅的数值,即为组 合测量(详见第八章)。

    S1—3单位制与基准(标准)

    一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小,称为量值(如5m,12kg,20等)。 在科学的所有领域或某一领域中,一组彼此间存在确定关系的基本量和相应导出的组合,称 为量制。如计量测试中的儿何量、力学量、电学量、等等,都有自己的量制。 为给定量制按给定规则确定的一组基本单位和导出单位,称为单位制。我国采用的国际 单位制(SI)是由国际计量大会采用和推荐的在全世界广泛应用的单位制。国际单位制单位由 米(长度)、千克(质量)、秒时间)、安【培)(电流)、开【尔文】(热力学温度)、摩【尔](物质的量)、 坎[德拉】(发光强度)等7个基本单位和弧度(平面角)、球面度(立体角)两个辅助单位歇及它 们的导出单位组成。

    零件的加工和测量,以及所用的加工机床、测量仪器本身,都不可避免地存在误差,没有误 差的加工和测量是不存在的。有些参数的计算及测量数据的处理,同样含有误差。误差和计 量测试有密切关系,任何计量测试都有误差存在,而各种量值的大小,又都要通过计量测试才 能给出。因此,下面着重讨论测量误差。

    误差是评定精度的尺度,误差愈小表示精度愈高。在测量中,由误差表示测得值与真值之 差。 若令测量误差为.测量值为,真值为0,则有

    真值。是客观存在的,但在实际应用时,一般是不知道和无法确定的。在统计学上,当测量 的次数n非常大时(趋于无穷大),测得值的算术平均值(数学期望)才接近于真值。故常以测 量次数足够大时的测得值的算术平均值,近似代替真值(详见第二章);实用中还常用量值精度 总终高的实物近似代替享值,这些都称之为约定真值。

    按误差的性质和特点,误差可分为随机误差、系统误差和粗大误差三类。 : 1.随机误差 、在同一测量条件下,多次重复测量同一量值时,测量误差的绝对值和正负符号以不可 的方式变化,这种误差叫做随机误差。例如千分表测杆与套管导轨在测量时因有间隙和摩

    由于重复测量实际上只能进行有限次,所以实用中的随机误差只是一近似的估计值。 当测量次数足够多时,就整体而言,随机误差服从一定的统计分布规律(详见第二章)。 2.系统误差 在同一测量条件下,多次重复测量同一量值时,测量误差的绝对值和正负符号都保持不 变,或在测量条件改变时按一定规律变化的误差,叫做系统误差。前者为定值系统误差,后者 为变值系统误差。 如用零位没有对准的游标卡尺或千分尺测量尺寸,将有零位系统误差。 在我国新制订的国家计量技术规范(JJF10011998(通用计量术语及定义》中,系统误差 系统的定量定义是:在重复性条件下,对同一被测量进行无限多次测量所得结果1,2,,# (n一80)的平均值至与被测量的真值o之差。即

    式中元按式6计。 由于定义中的测量是在重复性条件下进行的,测量条件不改变,故系是定值系统误差。 由于重复测量实际上只能进行有限次,另外,测量的真值也只能用约定真值代替,所以实 际中的系统误差也只是一近似的估计值。 3.粗大误差 这类误差的发生,是由于测量者的疏忽大意,或因环境条件的突然变化而引起的,误差值 一般比较显著。对确认含有粗大误差的测量数据,应予以剔除(详见第四章)。

    误差可用绝对误差和相对误差两种基本方式来表示。 1.绝对误善 绝对误差就是前面讲的某量值的测得值与真值(或约定真值)之差,一一般所说的误差,就是 绝对误差。 由于实际测得值可能大于或小于被测量值的真值,故绝对误差可以为正值或负值。它与 误差的绝对值不同,后者是不考虑正负号的绝对值。 2.相对误差 相对误差ε是绝对误差与被测量的真值的比值,一般用百分比(%)表示。由于测得 值与直值很接近,故也可近似地用绝对误差与测得值之比作为相对误差。即

    范围的仪表的测量精度,还可用来比较不同量值的测量精度。 实际测量中有这样一种规律,即被测量值越大(特小的难于测量的量值除外),其测量误差也 越大(对用同一计量器具和相同的测量方法及条件而言)。所以用绝对误差来比较两个相差较大 的和(或)用不同测量方法测得的量值的测量精度,就显得不合理,这时宜用相对误差来比较。 如用某种方法测得一尺寸的结果L1=100mm,误差1为土0.01mm,而用另一种方法测 得另一尺寸L2=20mm,误差2为士0.005mm(这里误差值的正负号表示误差的范围,详见 第二章)。 用相对误差来比较两者的测量精度:

    ±0.01 = ± 0.01 % 100 ± 0.005 =±0.025% E2 20

    e1<ε2,故知测量尺寸L,的精度比L2高。如用绝对误差来比较,就会得出相反的 确结论。 讯烤效席正确度精确度(准确度)

    测量误差的来源是多方面的,主要可归纳为: 1.标准器具的误差 作为在测量中提供标准量的标准器具,如光波波长、标准线纹尺、量块、码、标准电阻等, 它们本身所体现的量值,不可避免地含有一定的误差(一般误差值相对较小)。 2,测量装置的误差 测量装置误差包括计量器具的原理误差、制造装调误差;被测件在测量仪器上安置时的定 位误差;附件误差;以及接触测量中测量力与测量力变化引起的误差等。 3.方法误差 由于量方法的不完善所引起的误差。如采用近似的计算方法,用钢卷尺测出大尺寸轴 的圆周长s,然后由公式d=s/元计算出轴的直径d所引起的误差;又如采用触针法测量工件 的表面粗糙度时,由于触头的圆角半径引起的误差等。 4.测量者的误差 由于测量者的固有习惯、分辨能力的限制、工作疲劳引起的视觉器官生理变化、精神因紊 引起的一时疏忽等原因所引起的误差。如瞄准误差与读数误差。 5.客观环境引起的误差 由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起标准器、测量装登和被测件本身的变 化所造成的误差。这些环境因索有:温度、湿度、气压、振动、照明、电磁场等,其中以温度尤为 重要。

    在计量测试领域,研究误差有者极为重要的意义,其目的在于: (1)分析误差的性质和产生的原因,并采取相应的措施,以便从根源上消除误差,或将误 差减小到最低限度。 (2)正确计算和处理各种测量数据,尽可能提高测量结果的精确度。正确表达测量结果, 以适应各方面的需求和交流。 (3)合理地安排测量过程,正确地设计或选用计量器具和测量方法,以求在满足测量精度 要求的前提下,提高测量效率,降低测量成本。

    S1一5 有效数字与数值运算

    物理量大多是由观测所确定,因而不可避免会含有误差。即测得值是一代表其值的近似 值。误差值同样也是近似的。测量某被测量所得到的近似值往往是设计工作的根据,是实际 正程工作的基础。 在运用近似计算法进行计算时,所得结果亦为近似值,通常在保证能达到所要求的近似程

    度的前提下,应使计算工作合理简化,即一方面应避免盲目追求不切实际、没有必要的精确计 算,致使计算工作繁复,既浪费人力又耗费时间;另一方面又要保证达到要求的精确程度,不能 图省事,以致造成错误。 在计算机应用日益普遍的情况下,近似值及运算数字的选取应多加注意,周密分析,以使 计算程序简化,计算效率提高,近似程度合理、可靠。

    二、有效数字和有效位数

    数据的运算误差有天有小,符号有正有负,因而在运算过程中,就必然要相互抵消一部分。 在实际运算中,为了保证最后结果有尽可能高的精度,应遵循下述规则: (1)多个近似数(不超过10个)作加、减运算时,小数位数较多的近似数,只需比小数位数 最少的近似数多保留一位。而计算结果的小数位数,应与小数位数最少的那个近似数相同 倒如:

    1 425.4 + 343.1+ 11.243+9.7427 1425.4+343.1+11.24+9.74 =1 789.48 ~ 1 789.5

    (2)若参加运算的客数属同一数基级,且第一位数的大小相差较大时,为避免第+一位数小 的那个数的相对误差过大,可将其有效位数多保留一位。 (3)两个近似数作乘、除运算时,有效位数较多的近似数,比有效位数少的多保留一位,计 算结果应保留与有效位数少的那个数相同的有效位数。例如: 3.142×2.4~3.14×2.4=7.536~7.5 (4)在近似数作乘方或开方运算时,计算结果的有效位数与原来近似数(被乘方或开方 数)的有效位数相同。乘方与开方实质上是乘、除运算,故这实际上是采用乘、除运算规。 (5)在三角函数的运算中,函数值的位数应随角度误差的减小而增多,当角度误差为10, 1,0.1及0.01"时,对应的函数值位数应为5,6.7及8位。 (6)作对数运算时,n位有效数字的数据应该用n位或(n+1)位对数表。 (7)如运算所得的数据还要进行再运算,则该数据的有效位数可比应截取的位数暂时多 保留一位数学。 (8)表示误差范围的参数,如测量不确定度、标准差等(均见后述),其有效位数一般为 一 位,最多为两位。

    (2)若参加运算的客数属同一数基级,且第一位数的大小相差较大时,为避免第+一位数小 的那个数的相对误差过大,可将其有效位数多保留一位。 (3)两个近似数作乘、除运算时,有效位数较多的近似数,比有效位数少的多保留一位,计 算结果应保留与有效位数少的那个数相同的有效位数。例如: 3.142×2.4~3.14×2.4=7.536~7.5 (4)在近似数作乘方或开方运算时,计算结果的有效位数与原来近似数(被乘方或开方 数)的有效位数相同。乘方与开方实质上是乘、除运算,故这实际上是采用乘、除运算规。 (5)在三角函数的运算中,函数值的位数应随角度误差的减小而增多,当角度误差为10, 1,0.1及0.01"时,对应的函数值位数应为5,6.7及8位。 (6)作对数运算时,n位有效数字的数据应该用n位或(n+1)位对数表。 (7)如运算所得的数据还要进行再运算,则该数据的有效位数可比应截取的位数暂时多 保留一位数学。 (8)表示误差范围的参数,如测量不确定度、标准差等(均见后述),其有效位数一般为 一 位,最多为两位。

    第二章等精度测量的随机误差

    测得值就具有相同的精度,可用同一标准差来表征,或者说其有相同的可信赖程度。这样的测 量,就叫做等精度洲量。 从测量实践可知,在排除了系统误差和粗大误差的情况下,对某一物理量进行等精度的多 次测量时,其测得值中还会含有随机误差。对于测量列中的某一个测得值而言,这类误差的出 现具有随机性,即误差的大小和符号是不能预先知道的;当测量次数增大,这类误差却又具有 统计的规律性,测量次数愈多,这种规律性就表现得愈明显。随机误差的这种统计规律常称为 误差分布律。在测量误差理论中,最重要的一种分布律是正态分布律,因为通常的测量误差是 服从正态分布的。当然,在有些情况下,随机误差还有其他形式的分布律,如均勾分布、三角影 分布、偏心分布和反正弦分布等。根据误差的分布律,就可对测量数据进行适当的处理。 随机误差的产生有其主观和客观的原因,这些原因一般是由许多难以控制的和经常变化 的微小因素所造成。一般地说,凡能产生测量误差的诸因素都有可能会引起随机误差,当然应 将影功其系统误差的因素除外

    通过大量的对测量数据的观察,人们总结出了大多数的随机误差具有以下3个特征,它 被称做随机误差公理(15]。: (1)在一定的测量条件下(指一定的计量器具、环境、被测对象和人员等),随机误差的绝 对值不会超过一定的界限; (2)小误差出现的机会比大误差出现的机会要多; (3)测量次数n很大时,绝对值相等、符号相反的随机误差出现的机会相等。 由特征(3)不难推理,对同一量进行等精度测量,随着测量次数n趋于无穷大,随机误差 的算术平均值将趋于零。 多数随机误差的上述特征,说明其分布实际上是有界限的和单一的峰值,且当测量次数无 穷地增加时,这类误差还具有对称性(即相消性)。这种误差的分布规律,人们称之为正态分布 律。

    2—2随机误差的数字特征

    用于描述随机误差分布特征的数值叫做随机误差的数字特征。 对于离散型或连续型的随机误差,它在数轴上的分布规律,虽可采取分布函数或分布密度 函数及其相应的分布曲线图形来表示,但在实际测量数据处理中,要确定误差的分布函数或分 布密度函数,是很困难的,一般也是不必要的,若知道了随机误差的数字特征,就能明确地说明

    随机误差分布的特征。 随机误差的数字特征主要有两个:①算术平均值;②标准差。前者通常是随机误差的分布 中心,后者则是分散性指标。例如,当随机误差服从正态分布时,在算术平均值处随机误差的 概率密度最大,由多次测量所得的测得值是以算术平均值为中心而集中分布的;而标准兼则可 描述随机误差的散布范围,标准差愈大,测量数据的分散范围也愈大。显然,算术平均值可以 作为等精度多次测量的结果,而标准差可以描述测量数据和测量结果的精度。

    对一个真值为3o的物理量进行等精度的n次测量,得n个测得值c132,*,工n,它们都 含有误差.2,,,统称真差。通常,我们是以算术平均值元作为n次测量的结果,即

    代人式(2一1),得:

    上式中的真差:即为随机误差,当测量次数n→00时,根据随机误差公理(3),2:→ 则得

    这个结果说明,当测量次数n无限增大时,测得值的算术平均值范就等于真值xod但在 实际上,进行无穷多次的测量是不可能的,因此真值工o实际上也不可能得到,然而可以认为, 当测量次数n适当大时,算术平均值至是最接近于真值o的(证明见后)。 通常在有限次测量时,不可能等于真值30,所以无也是随机变动的,设想进行组的 “多次测量”,各组所得的算术平均值为至1,32,,正m,这些算术平均值;本身并不含系统误 差,它们是围绕真值o而随机变动,故元:是无偏估计量。 在计量测试中,都以至作为多次测量的结果,它是诸测得值中最可信赖的,常称最或然 值。 为了计算方便,算术平均值也可按下式计算:

    m1m2,",m是测量值1,2,",重复出现的个数,总测量次数n=≥m;C为 数。 2一1 求20.0005,19.999620.000319.999420.0002五个测得值的算术平均值 手:

    n 简化算法: 5 二、标准差(或标准偏差)

    上述的算术平均值至虽能表示一组测得值的结果,但它不能表示这一组测得值的精度。 例如,有下列两组测得值,即 第I组:20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002 第I组:19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994 这两组测得值的算术平均值都为20.0000,但它们的测量精度明显地不同。容易看出,第 Ⅱ组数据的分散要比第I组为大,即第I组测得值的测量精度要高于第Ⅱ组。 为评定一组测得值的精度,数学上常采用二次矩来描述,因为二次矩可避免正、负随机误 差的相消。在计量学中,参照这种方法,用标准差来评定测得值的精度,即

    式中:;真差(随机误差);

    +++ (n→0) r

    三、用残差计算标准差的估计值

    标准差的定义式(25)是在假定真值℃0为已知的情况下,根据真差;来计算的;但实际 上真值o是不知的,因而真差也无法获知,故该定义式只有理论的意义,而无法实际应用。 由于在有限次测量时得到的是有限个测得值1,2,",3n,并可从该组测得值计算出最 接近于真值。的算术平均值元,所以就用无代替o来计算标准差。的估计值,亦即。用 各测得值;对其算术平均值的误差量来计算,该误差量叫做残余误差,简称残差,因此各测 值的残差:可用下式表示:

    残差有两个重要的特性: 1)一组测得值残差之和等于寒,即

    将式(2一1)代人上式,即得:

    (2一组翘得值残差的平方和为最小,即

    因为,将式(2一6)平方

    如果>为最小,则必须

    d() = ~2Zx + 2n = 0 d Zai E

    此结果表明,如果不取无,而取其他值代誉真值30,则相应偏差的平方和一定要比我差的 平方和为大,这也同时说明了元比其他值更可信赖。 下面来讨论真差与残差之闻的关系。

    式中,为算术平均值的真差。 相加,有

    Z8: = Z(: + ) = + no

    Zu = 0 =128:

    由随机误差的特征知,当 n0时,;→0,则 =0,即,或 ;= U这 13

    明:在衡量次数n足够多的条件下,一切有关真差的理论均适用于残差。 因为

    百n足够大时,上式中2接近于0,又因 >

    当n足够大时,上式中2接近于0,又因

    Zw = 0 Zo? a 故 =

    2a? 上式中, 即为α2。 n 故

    o,=+0 =+20+2

    Z8 = 2?+282: + 2 =12o: =(8+2Z8)(i<

    w= 0 & 2 Zα= Z+n u?+

    般测量次数n较少时,上式的。2常写作或。这个公式的意义在于真差是不知 由式(27)就可根据有限个测量值的残差来求取随机测量误差方差的估计值。。将 7开方,得:

    g。称为实验标准差,它是标准差α的估计值。式(2一8)称为贝塞尔(Bessel)公式。类似 于式(2一4),式(2一8)也可作如下简化计算:

    式中,C是为简化计算而任选的常数。 :如果各测得值不只出现一次,而是m:次,总次数n=》m;,则上式可写成

    标准差。以及下面将要讲到的平均误差、几率误差β和极限误差m等都是表示随机误 差很重要的特征量,都可用于描述测量列中各个测得值的误差。因。甚为重要,故必须进 步说明它的含义和对测量的作用。例如,对某一量测量50次电镀标准,得测得值1,2,,50,根据

    此50个数据计算出标准差的估计值s,则可作为表征测量列中每一个测得值31或2 或工50的误差的参数。由于统计的数据量已经相当大(50个),我们于是可以断定,若再多测几 个;,也不会明显地改变。的数值。因此,由大量统计得出的,便可表征在相同条件下测 出的另一测量列中测得值的误差。所以,若再测一次得测得值51,我们仍可用。来表征其误 差。又如某量仪厂,从一批产品中抽出同类产品100台,用此100台仪器测量同一量(例如, 在同一条件下測同一塞规直径),得测得值α12,,100,按此数据计算(统计)出αs,则α 就可表征此100台中任一台仪器的误差(精度)。由于统计的数目较大,故。也可表征此100 台以外的同类产品的误差或精度。关于标推差等特征量的确切含义(用概率解释)将在本章第 3、4两节中进一步说明。

    四、算术平均值的标准差及其估计值

    对于测量误差服从正态分布的测得值,可用其标准差。来评定测量的精度。在多次测量 中,由于其算术平均值元是最接近于被测量的真值工0,所以需要进一步分析的精度。在有 限次測量的条件下,元不等于真值。由m组不同的"多次测量”所得的算术平均值元1,2, ,无,是围绕真值o而随机变动的,,也有其确定的分布,故算术平均值的精度也可由 其标准差来评定,它与的关系可推导如下。 设想进行m组的“n次重复测量”,各组的测量次数n仅为有限次,即各组测得值的算术 平均值,不等于真值o,;尚具有真差,(i=1~m),我们列出

    1二 7 12 = 32 #2+.+2. Cm

    态分布的随机变量,且其分布的理论均值为;及方差为。2,故随机变量元,(i=1m)的分布 就是n个正态分布的合成。由概率论原理可知,正态分布和的分布仍为正态分布,且其方差 为各合成正态分布的方差和,将上式写成一般形式:

    ;=一 (zj, + rj, +.*+ aj.) (j = 1 ~ m) D() = [D(α1) + D(r2) + * + D(n)] D(r1) = D(2) = "* = D(xn) = g2 n 0元= 元

    由上式可见,在测量条件一定,即,一定的情况下,算术 平均值的标准差随着测量次数n的增加而减小。如测量次数 m=4,厕a减小1倍;当n=9时,就减小3倍,即其随机误 差得到有效的控制,提高了测量的精度。不过,当t增加到一 定次数(例如10次)以后,的减小就变得级慢,即精度提高得 很慢,图21所示为/g,比值与测量次数n的关系曲线。 所以在一般精密测量中,等精度重复测量的次数n多小于10 次,超过?15一20次的情况比较少见,此时若要进步提高测量 精度,则需采取其他措施来解决(如提高仪器精度,改进测量方 法,改善环境条件等)。

    比较一下两组测得值的计算结果,它们的算术平均值虽是相等的,但第Ⅱ组的标准差比第 I组约大了1倍,说明第Ⅱ组测得值的随机误差大,测量精度比第I组要低。 例2一3用机械测微仪测量某零件直径共51次涂料标准规范范本,测得的数据如表2一2所列,试求测得值 的各特征量元,s,0 解:为了简洁清楚,采用列表计算的方法,表中;为测得值,m,为3;出现的频数,而n二 m: = 51 为总测量次数。

    ....
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